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Introdução:
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Nesta página falarei um pouco sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), uniformizando a notação que irei utilizar nas páginas sobre os métodos iterativos de resolução numérica para destas equações.
Uma EDO é uma equação da forma:$^{[1]}$ \[ \frac{d^n}{dx^n} f(x) = F\left (x, \; f(x), \; \frac{d}{dx}f(x), \; ..., \; \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x) \right ) \; (1) \] Ou seja, uma EDO é uma equação cuja a derivada de ordem $n$ de uma função $f$ é escrita em termos de uma função $F$ que depende da variável independente$^{[2]}$ $x$ e das derivadas de $f$.
Encontrar uma solução para uma EDO se trata portanto de escrever $f$ explicitamente em função de $x$.
Sem embargo tome cuidado, $f$, $F$ e $x$ são apenas a notação que estou utilizado, as letras usadas em um dado problema podem ser outras tanto quanto for conveniente, portanto dedique-se a entender o que representam essas letras. Além disso, aqui nesta página, embora os conceitos possam ser estendidos, estarei a tratar de funções do plano cartesiano, funções cujos pontos $(x, y)$ são da forma: \[ (x, y) = (x, f(x) ) \] ----------------------------------------
EDO de 1ª Ordem:
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A EDO de primeira ordem é: \[ \frac{d}{dx} f(x) = F\left (x, \; f(x) \right ) \] São exemplos de EDO's de primeira ordem: \[ \begin{align*} Equação & & &|& & & Solução \\ \hline \frac{d}{dx} f(x) &=& x &|& f(x) &=& \frac{x^2}{2} + C \\ \frac{d}{dx} f(x) &=& f(x) &|& f(x) &=& C e^x \\ \frac{d}{dx} f(x) &=& x f(x) &|& f(x) &=& C e^\frac{x^2}{2} \end{align*} \] Note a presença da constante $C$ em todos os casos, essa constante depende das condições de contorno, essas condições geralmente são as de um problema de valor inicial (PVI). Por exemplo, se $f(0) = 2$ então a solução da equação $\frac{d}{dx} f(x) = f(x) $ será $f(x) = 2 e^x$, pois nenhuma outra solução pode satisfazer o valor inicial, ou condição de contorno.
Não me dedicarei aqui a métodos para encontrar a solução analítica de EDO's, esta página é apenas uma introdução para as páginas que tratam sobre métodos para encontrar a solução numérica de EDO's, sobretudo para o PVI.
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EDO de ordem superior e sistemas de equações de primeira ordem:
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Uma EDO de ordem superior é como a da eq. (1), com $n > 1$. Um exemplo clássico de EDO de 2ª ordem é o oscilador harmônico simples, onde a aceleração de uma partícula ao longo do eixo $x$ é dada em função da sua posição pela equação: \[ \ddot{x}(t) = - \omega_0^2 x(t) \] Ou na notação que estamos utilizando: \[ \frac{d^2}{dx^2}f(x) = - C^2 f(x) \; (2) \] A solução analítica mais geral dessa equação envolve exponenciais complexas ou soma de senos e cossenos mas isso não vem ao caso agora. Guarde bem a eq. (2), voltaremos a discutir sobre ela.
Toda EDO como a da eq. (1) pode ser reescrita como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, de fato, sejam: \[ \left \{ \begin{align*} q_1(x) &= f(x) \\ q_2(x) &= \frac{d}{dx}f(x) \\ ... & \\ q_n(x) &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x) \\ \end{align*}\right . \] Dessa forma (1) é dada por um sistema de $n$ EDO's de primeira ordem: \[ \left \{ \begin{align*} \frac{d}{dx} q_1(x) &= q_2(x) \\ \frac{d}{dx} q_2(x) &= q_3(x) \\ ... & \\ \frac{d}{dx} q_n(x) &= F(x, \; q_1(x), \; ..., \; q_{n-1}(x)) \\ \end{align*}\right . \] Voltemos à eq. (2), para exemplificar. Essa equação pode ser escrita como o seguinte sistema: \[ \left \{ \begin{align*} \frac{d}{dx} q_1(x) &= q_2(x) \\ \frac{d}{dx} q_2(x) &= - C^2 q_1(x) \\ \end{align*}\right . \] O que reduz o problema de 2ª ordem a dois problemas de 1ª ordem, é isso que nos permitirá resolver numericamente a EDO.
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Veja mais:
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[1] Equação diferencial ordinária
[2] Variáveis dependentes e independentes
Introdução:
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Nesta página falarei um pouco sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), uniformizando a notação que irei utilizar nas páginas sobre os métodos iterativos de resolução numérica para destas equações.
Uma EDO é uma equação da forma:$^{[1]}$ \[ \frac{d^n}{dx^n} f(x) = F\left (x, \; f(x), \; \frac{d}{dx}f(x), \; ..., \; \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x) \right ) \; (1) \] Ou seja, uma EDO é uma equação cuja a derivada de ordem $n$ de uma função $f$ é escrita em termos de uma função $F$ que depende da variável independente$^{[2]}$ $x$ e das derivadas de $f$.
Encontrar uma solução para uma EDO se trata portanto de escrever $f$ explicitamente em função de $x$.
Sem embargo tome cuidado, $f$, $F$ e $x$ são apenas a notação que estou utilizado, as letras usadas em um dado problema podem ser outras tanto quanto for conveniente, portanto dedique-se a entender o que representam essas letras. Além disso, aqui nesta página, embora os conceitos possam ser estendidos, estarei a tratar de funções do plano cartesiano, funções cujos pontos $(x, y)$ são da forma: \[ (x, y) = (x, f(x) ) \] ----------------------------------------
EDO de 1ª Ordem:
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A EDO de primeira ordem é: \[ \frac{d}{dx} f(x) = F\left (x, \; f(x) \right ) \] São exemplos de EDO's de primeira ordem: \[ \begin{align*} Equação & & &|& & & Solução \\ \hline \frac{d}{dx} f(x) &=& x &|& f(x) &=& \frac{x^2}{2} + C \\ \frac{d}{dx} f(x) &=& f(x) &|& f(x) &=& C e^x \\ \frac{d}{dx} f(x) &=& x f(x) &|& f(x) &=& C e^\frac{x^2}{2} \end{align*} \] Note a presença da constante $C$ em todos os casos, essa constante depende das condições de contorno, essas condições geralmente são as de um problema de valor inicial (PVI). Por exemplo, se $f(0) = 2$ então a solução da equação $\frac{d}{dx} f(x) = f(x) $ será $f(x) = 2 e^x$, pois nenhuma outra solução pode satisfazer o valor inicial, ou condição de contorno.
Não me dedicarei aqui a métodos para encontrar a solução analítica de EDO's, esta página é apenas uma introdução para as páginas que tratam sobre métodos para encontrar a solução numérica de EDO's, sobretudo para o PVI.
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EDO de ordem superior e sistemas de equações de primeira ordem:
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Uma EDO de ordem superior é como a da eq. (1), com $n > 1$. Um exemplo clássico de EDO de 2ª ordem é o oscilador harmônico simples, onde a aceleração de uma partícula ao longo do eixo $x$ é dada em função da sua posição pela equação: \[ \ddot{x}(t) = - \omega_0^2 x(t) \] Ou na notação que estamos utilizando: \[ \frac{d^2}{dx^2}f(x) = - C^2 f(x) \; (2) \] A solução analítica mais geral dessa equação envolve exponenciais complexas ou soma de senos e cossenos mas isso não vem ao caso agora. Guarde bem a eq. (2), voltaremos a discutir sobre ela.
Toda EDO como a da eq. (1) pode ser reescrita como um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, de fato, sejam: \[ \left \{ \begin{align*} q_1(x) &= f(x) \\ q_2(x) &= \frac{d}{dx}f(x) \\ ... & \\ q_n(x) &= \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x) \\ \end{align*}\right . \] Dessa forma (1) é dada por um sistema de $n$ EDO's de primeira ordem: \[ \left \{ \begin{align*} \frac{d}{dx} q_1(x) &= q_2(x) \\ \frac{d}{dx} q_2(x) &= q_3(x) \\ ... & \\ \frac{d}{dx} q_n(x) &= F(x, \; q_1(x), \; ..., \; q_{n-1}(x)) \\ \end{align*}\right . \] Voltemos à eq. (2), para exemplificar. Essa equação pode ser escrita como o seguinte sistema: \[ \left \{ \begin{align*} \frac{d}{dx} q_1(x) &= q_2(x) \\ \frac{d}{dx} q_2(x) &= - C^2 q_1(x) \\ \end{align*}\right . \] O que reduz o problema de 2ª ordem a dois problemas de 1ª ordem, é isso que nos permitirá resolver numericamente a EDO.
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Veja mais:
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[1] Equação diferencial ordinária
[2] Variáveis dependentes e independentes