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1.0 - O modelo SIR:
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O modelo que uso para estimar os impactos futuros da doença na capital de Alagoas é o SIR (Suscetíveis - Infectados - Removidos), basicamente ele considera que:
· Quando infectados (I) e suscetíveis (S) interagem, uma parcela é removida da categoria suscetíveis e colocada na categoria infectados;
· Parte dos infectados se curam em um dado intervalo de tempo. Estes são removidos da categoria infectados e colocados na categoria curados;
· Outra parte dos infectados morrem devido à doença. Estes são removidos da categoria infectados e colocados na categoria mortos;
· Os curados desenvolvem imunidade e, portanto, não são colocados de volta na categoria suscetível.
Note que o último ponto pode ou não ser verdadeiro para o Sars-Cov-2, entretanto estou supondo que é verdadeiro pois a isto apontam os recentes estudos. Dessa forma os mortos e os curados podem ser colocados em uma única categoria, a dos removidos (R).
Sendo $N$ a população da cidade, o modelo epidemiológico pode ser dado por:
\[ \begin{matrix} \frac{d S}{dt} =& - \beta \frac{I S}{N} &\; (1) \\ \frac{d I}{dt} =& \beta \frac{I S}{N} - \gamma I &\; (2) \\ \frac{d R}{dt} =& \gamma I &\; (3) \end{matrix} \] Onde $\gamma$ é a taxa de recuperação, isto é, a razão entre as pessoas de adquiriram imunidade (ou morreram) em um dia, ou melhor, se $D$ for o número de dias que uma pessoa leva para se recuperar/morrer então:
\[ \gamma = D^{-1} \> (4) \] Já $\beta$ é a taxa de infecção, isto é, a média de contatos que um infectado faz por dia multiplicado pela probabilidade desse contato infectar a outra pessoa.$^{[1,2]}$
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2.0 - $R_0$, o número básico de reprodução:
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Tome a equação $(2)$ no começo da infecção, nesse momento $S/N \approx 1$ e: \[ \begin{matrix} \frac{d I}{dt} =& I \gamma\left ( \frac{\beta}{\gamma} \frac{S}{N} - 1 \right ) & \\ \frac{d I}{dt} \approx& I \gamma\left ( R_0 - 1 \right ) &\; (5) \end{matrix} \] onde: \[ R_0 = \frac{\beta}{\gamma} \; (6) \] É o número básico de reprodução, este número mede quantas pessoas, em média, um infectado é capaz de infectar. Se $R_0 \leq 1$ a doença terminará por sumir, entretanto se $R_0 > 1$ então a doença se espalhará e dará início a uma epidemia.
Vamos analisar mehor a equação (5).
A eq. (5) é uma EDO e uma solução é: \[ I \approx I |_0 e^{\gamma\left ( R_0 - 1 \right ) t} \; (7) \] onde $I |_0$ é o número inicial de infectados. Dessa forma o começo da epidemia é descrito por um número de infectados que cresce de forma exponencial.
A taxa de crescimento exponencial é \[ \begin{matrix} gr =& \gamma\left ( R_0 - 1 \right ) & \Rightarrow \\ R_0 =& 1 + \frac{gr}{\gamma} & \; (8) \end{matrix} \] é outra forma de obter o número básico de reprodução. Daí a taxa de infecção, usando eq. (6), pode ser dada por:$^{[3]}$ \[ \beta = \gamma R_0 (9) \] ----------------------------------------
3.0 - O tempo de duplicação:
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O tempo de duplicação é o tempo que o número de infectados leva para dobrar. O tempo de duplicação $T_d$ de uma curva exponencial é: \[ T_d = \frac{ln(2)}{gr} \] Veja que daí é possível obter novamente o valor de $R_0$:$^{[4]}$ \[ \begin{matrix} t_d =& \frac{ln(2)}{\gamma (R_0 - 1)} \Rightarrow &\; (10) \\ R_0 =& 1 + \frac{gr}{\gamma} & \end{matrix} \] ----------------------------------------
4.0 - Estimando o valor de $R_0$:
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Note que, como é comum em equações diferenciais, este é um problema de valor inicial (PVI) descrito por parâmetros. Para dar início a iteração usando Euler$^{[5]}$, da maneira como descrevi, é preciso conhecer de antemão:
· $\gamma$;
· $R_0$;
· $N$ (A população total no começo da iteração);
· $R |_0$ (o número de removidos no começo da iteração);
· $I |_0$ (e número de infectados no começo da iteração).
Note que $S |_0 = N - I |_0 - R |_0$.
Com exceção de $R_0$ e $\gamma$ todos as condições de contorno podem ser obtidas diretas e facilmente a partir das informações oficias sobre a pandemia. Veremos que, na verdade, essas informações podem informar também R_0.
Disponha os dados sobre os infectados em um arquivo .dat de duas colunas: tempo x quantidade de infectados.
Salve o arquivo com o nome infectados.dat e use o seguinte script para fazer um fit no gnuplot:
Note que o gnuplot te informará o valor de gr, use ele na eq. (8) para estimar o valor de $R_0$. Note que se você não conseguir estimar $\gamma$ a partir da eq. (4) então poderá chutar seu valor rodando diversas vezes o programa para diferentes valores de $\gamma$ até que o resultado se aproxime dos seus dados.
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Ligações e referências
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[1] The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
[2] Compartmental models in epidemiology
[3] Estimating the Exponential Growth Rate and $R_0$
[4] Doubling time
[5] Método de Euler
Plotando gráficos
Gerando Gráficos
1.0 - O modelo SIR:
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O modelo que uso para estimar os impactos futuros da doença na capital de Alagoas é o SIR (Suscetíveis - Infectados - Removidos), basicamente ele considera que:
· Quando infectados (I) e suscetíveis (S) interagem, uma parcela é removida da categoria suscetíveis e colocada na categoria infectados;
· Parte dos infectados se curam em um dado intervalo de tempo. Estes são removidos da categoria infectados e colocados na categoria curados;
· Outra parte dos infectados morrem devido à doença. Estes são removidos da categoria infectados e colocados na categoria mortos;
· Os curados desenvolvem imunidade e, portanto, não são colocados de volta na categoria suscetível.
Note que o último ponto pode ou não ser verdadeiro para o Sars-Cov-2, entretanto estou supondo que é verdadeiro pois a isto apontam os recentes estudos. Dessa forma os mortos e os curados podem ser colocados em uma única categoria, a dos removidos (R).
Sendo $N$ a população da cidade, o modelo epidemiológico pode ser dado por:
\[ \begin{matrix} \frac{d S}{dt} =& - \beta \frac{I S}{N} &\; (1) \\ \frac{d I}{dt} =& \beta \frac{I S}{N} - \gamma I &\; (2) \\ \frac{d R}{dt} =& \gamma I &\; (3) \end{matrix} \] Onde $\gamma$ é a taxa de recuperação, isto é, a razão entre as pessoas de adquiriram imunidade (ou morreram) em um dia, ou melhor, se $D$ for o número de dias que uma pessoa leva para se recuperar/morrer então:
\[ \gamma = D^{-1} \> (4) \] Já $\beta$ é a taxa de infecção, isto é, a média de contatos que um infectado faz por dia multiplicado pela probabilidade desse contato infectar a outra pessoa.$^{[1,2]}$
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2.0 - $R_0$, o número básico de reprodução:
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Tome a equação $(2)$ no começo da infecção, nesse momento $S/N \approx 1$ e: \[ \begin{matrix} \frac{d I}{dt} =& I \gamma\left ( \frac{\beta}{\gamma} \frac{S}{N} - 1 \right ) & \\ \frac{d I}{dt} \approx& I \gamma\left ( R_0 - 1 \right ) &\; (5) \end{matrix} \] onde: \[ R_0 = \frac{\beta}{\gamma} \; (6) \] É o número básico de reprodução, este número mede quantas pessoas, em média, um infectado é capaz de infectar. Se $R_0 \leq 1$ a doença terminará por sumir, entretanto se $R_0 > 1$ então a doença se espalhará e dará início a uma epidemia.
Vamos analisar mehor a equação (5).
A eq. (5) é uma EDO e uma solução é: \[ I \approx I |_0 e^{\gamma\left ( R_0 - 1 \right ) t} \; (7) \] onde $I |_0$ é o número inicial de infectados. Dessa forma o começo da epidemia é descrito por um número de infectados que cresce de forma exponencial.
A taxa de crescimento exponencial é \[ \begin{matrix} gr =& \gamma\left ( R_0 - 1 \right ) & \Rightarrow \\ R_0 =& 1 + \frac{gr}{\gamma} & \; (8) \end{matrix} \] é outra forma de obter o número básico de reprodução. Daí a taxa de infecção, usando eq. (6), pode ser dada por:$^{[3]}$ \[ \beta = \gamma R_0 (9) \] ----------------------------------------
3.0 - O tempo de duplicação:
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O tempo de duplicação é o tempo que o número de infectados leva para dobrar. O tempo de duplicação $T_d$ de uma curva exponencial é: \[ T_d = \frac{ln(2)}{gr} \] Veja que daí é possível obter novamente o valor de $R_0$:$^{[4]}$ \[ \begin{matrix} t_d =& \frac{ln(2)}{\gamma (R_0 - 1)} \Rightarrow &\; (10) \\ R_0 =& 1 + \frac{gr}{\gamma} & \end{matrix} \] ----------------------------------------
4.0 - Estimando o valor de $R_0$:
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Note que, como é comum em equações diferenciais, este é um problema de valor inicial (PVI) descrito por parâmetros. Para dar início a iteração usando Euler$^{[5]}$, da maneira como descrevi, é preciso conhecer de antemão:
· $\gamma$;
· $R_0$;
· $N$ (A população total no começo da iteração);
· $R |_0$ (o número de removidos no começo da iteração);
· $I |_0$ (e número de infectados no começo da iteração).
Note que $S |_0 = N - I |_0 - R |_0$.
Com exceção de $R_0$ e $\gamma$ todos as condições de contorno podem ser obtidas diretas e facilmente a partir das informações oficias sobre a pandemia. Veremos que, na verdade, essas informações podem informar também R_0.
Disponha os dados sobre os infectados em um arquivo .dat de duas colunas: tempo x quantidade de infectados.
Salve o arquivo com o nome infectados.dat e use o seguinte script para fazer um fit no gnuplot:
#!/usr/bin/env gnuplot data = "infectados.dat" f(x) = exp(gr * x) fit f(x) data via gr plot data lt rgb "blue" pt 7 ps 1, f(x) pause 2 exit
Note que o gnuplot te informará o valor de gr, use ele na eq. (8) para estimar o valor de $R_0$. Note que se você não conseguir estimar $\gamma$ a partir da eq. (4) então poderá chutar seu valor rodando diversas vezes o programa para diferentes valores de $\gamma$ até que o resultado se aproxime dos seus dados.
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Ligações e referências
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[1] The SIR Model for Spread of Disease - The Differential Equation Model
[2] Compartmental models in epidemiology
[3] Estimating the Exponential Growth Rate and $R_0$
[4] Doubling time
[5] Método de Euler
Plotando gráficos
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